Quesito sul calcolo dei volumi di solidi di rotazione

Considerare nel piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali $Oxy$, il settore circolare $T$ del primo quadrante, appartenente al cerchio limitato dalla circonferenza d equazione $x^2+y^2=r^2$ e tale che i raggi che lo individuano siano sull’asse $x$ e sulla retta $y=x\sqrt{3}$.

Calcolare i volumi $V_1$ e $V_2$ dei solidi ottennuti dalla rotazione completa di $T$ rispettivamente intorno all’asse $x$ e $y$ in funzione del raggio del settore $r$.

Soluzione

Risulta: $V_1=\frac{1}{3}\pi r^3$ e $V_2=\frac{1}{3}\pi r^3\sqrt{3}$.

Traccia

Osservare che il settore circolare $T$ è descritto da due diverse funzioni a seconda dell’intervallo considerato. Per determinare i volumi è consigliabile quindi calcolare il volume totale come somma dei volumi determinati dalle due funzioni considerate separatamente e integrate in intervalli opportuni.

a. Determinare innanzitutto il punto di intersezione $P$ tra la retta e il semicerchio del primo quadrante in modo da ricavare gli intervalli d’integrazione dei volumi.

b. Per $V_1$ ricavare un’espressione di $y$ in funzione $x$ per la parte relativa all’andamento circolare. Calcolare quindi i volumi delle funzioni negli intervalli relativi ed eseguire la somma per determinare il volume totale $V_1$.

c. Per $V_2$ procedere allo stesso modo che per $v_1$ considerando però che le due funzioni devono essere espresse in funzione di $y$.